跳進直通地球另一端的洞中，人會如何運動？

如果地球上挖了一個洞，出口在地球的另一端，一個人跳進洞中，請問他會怎樣運動？

知友 | Mandelbrot

其實這是一個複雜的問題。我們先從最簡單的情況開始討論吧。最簡單的情況是這樣的：

1. 這個洞從北極通向南極，和地球的自轉軸重合。這樣，我們可以忽略地球自轉的影響。

2. 洞內部是真空。當然，洞的兩端應該加上蓋子。這樣，我們就不用考慮空氣阻力了。

3. 洞壁完全隔熱，不然，當你到達地核時，6000 度的洞壁放出的輻射能量也足以把你烤焦了。

4. 地球是密度均勻的球體。

現在，假設這個理想的洞已經挖好了，小明同學帶上氧氣瓶，義無反顧地從北極跳了下去。在地球表面，重力加速度是 1g（約 9.8 米 / 秒 2）。當這小明逐漸深入，他受到的引力逐漸變小，也意味著他的加速度逐漸變小，但是同時他的下落速度仍然在增加。

在地球中心，他受到的引力為 0。但是，這時候他的速度達到最大值，可以讓他沖過地心，飛向位於南極的洞口。越過地心後，他受到和運動方向相反的引力，讓他減速。隨著他遠離地心，引力逐漸增大。當他到達南極的洞口時，速度減低到 0。引力讓他重新下落，飛向北極的洞口。

這樣，小明就在這個洞中做周而復始的飛行。如果沒有人把他拉上去或者抓住把手自己爬上去，他應該會耗盡氧氣窒息或者餓死。

從北極到南極，小明所花的時間大約是 42 分鐘。有一個有趣的現象：連接地球表面任意兩點的洞，如果你從一端跳下去，從另一端出來需要的時間都是 42 分鐘。

這里假設沒有摩擦力。更有趣的是，這個數字只與星球的密度有關，而和大小無關。根據這個概念，人們設想了一種非常節省能量的引力火車，可以作為未來的交通工具。這種火車所需要的能量只要足夠補償摩擦力的損失就行了。

在這個過程中，小明受到的引力和離地心的距離成正比。所以，引力可以簡單的表示為：F=kr。

其中 r 是小明到地心的距離，而 k=4Gπmρ/3。其中 G 是萬有引力常數，m 是小明的質量，ρ是地球的密度。這些都是常數，所以，我們可以把 k 也作為常數處理。

不難看出，這樣的引力和彈簧產生的力具有相同的性質。在這種力的驅動下產生的運動也和彈簧振子產生的運動一樣，是一種簡諧振動。整個過程，是一個簡單的勢能 – 動能轉化過程。

下面我們放棄第一條假設。如果這個洞從赤道的一端通向赤道的另一端，那麼地球的自轉就不能忽略了。

這個洞在赤道面上，所以整個洞跟著地球自轉。從上圖可以看出，洞的不同部分轉動的線速度大小和方向都是不一樣的。

小明從洞口跳下的時候，他的水平方向速度（自轉線速度）是 464 米 / 秒。在他下落的過程中，他的水平方向速度會逐漸超過洞壁的速度。他會看見洞壁向他靠近。然後，小明不可避免地撞到洞壁上。

在完全彈性碰撞的情況下，小明會被彈向另一側洞壁，然後彈回來，在這個乒乒乓乓的過程中繼續他的旅程。然而考慮到小明是一個人，彈性應該不大。在幾次碰撞之後，他就會貼在洞壁上（上圖中右側的洞壁）往下滑。

從小明的角度來看，洞壁始終在向他做加速運動，所以我們可以認為有一個虛擬的力，把小明推向洞壁。

越過地心以後，洞壁繼續相對於小明做水平方向的加速運動，所以，對小明來說，這個虛擬的力仍然存在。在整個過程中，小明的感覺和坐下圖中滑梯差不多，只不過坡度要大得多。

（圖片來自 Indoor water parks: Keep warm with these thrilling rides this winter）

這種現象在地球表面也能觀察到。在不同緯度上運動的氣流都會因為這個原因發生偏轉。我們把這個虛擬的力叫做地轉偏向力。它在地球的氣候系統中發揮著重要的作用。

洞壁和小明之間的摩擦力會很快消耗掉小明的下落的動能，把簡諧振動變成阻尼振動，讓小明的振幅越來越小，最後漂浮在地心。

如果我們希望小明能夠一直往下掉，不會碰到洞壁，那麼洞的路徑就必須和小明下落的路徑一致。現在來看看什麼樣的洞才能達到這個要求。

由於小明帶著比較大的自轉線速度下落，不久後他就會偏離直徑 AC 方向，但是他受到的引力仍然具有相同的特性：1）指向地心；2）大小和與地心的距離成正比。

這種在二維平面上的動能 – 勢能轉化過程產生的運動軌跡是一個橢圓，橢圓的中心就是地心。橢圓的長軸等於地球的直徑，即 12742 公里；短軸等於 748 公里（這里的計算可以在 newtonian mechanics 找到）。

開始，小明從 A 點跳下去。當他達到 B 點時，他距離地心 374 公里。42 分鐘後，小明沿著路徑 ABC 來到 C 點，他會沿著橢圓軌跡的另一側 CDA 重新下落。這樣周而復始地在橢圓上運動。

然而，千萬不要認為在地球上挖一個這樣的橢圓形的洞就能讓小明永遠漂流下去了。不要忘記，地球在轉動。橢圓長軸上的兩端 A 和 C，是兩個對躓點。小明從 A 點來到 C 點需要 42 分鐘，所以，當小明穿過地球的時候，原來的 C 點已經向前走了 1169（464 x 42 x 60）公里。

所以，洞的另一端，C‘ 點，應該比 A 的對躓點落後 1169 公里。同時，洞的路徑也需要做相應的調整。如果你希望小明還能從 C‘點再落回去的話，另一頭的洞口 A’應該比 A 點落後 2338 公里。

這樣，小明每循環一次，就會出現在比上一次出發點落後 2338 公里的地方。這樣的路徑不會形成閉合的形狀，所以，你沒有辦法給小明挖出一個洞，讓他可以永遠在地球內部往返運動。

如果你覺得這樣已經夠複雜了，其實我們還有很多因素沒有考慮。不過，以下這些因素已經不在這篇回答的范（能）圍（力）之內了。

地球並不是一個密度均勻的球體，地殼，地幔和地核的密度都不一樣。在下落過程中的引力變化自然也不能像上面那樣簡單處理了。

圖片來自Gravity of Earth

上圖中的藍線顯示了地球內部真實的重力加速度變化情況。對於這種不能用函數表達的數據，應該怎麼算呢？

要是洞里有空氣，空氣的阻力肯定會消耗掉下落的動能。如果要計算的話，我們必須知道在不同高度的空氣密度和大氣壓力。

我們感受的大氣壓力實際上是我們頭頂的空氣的重量，那麼從地心開始算的話，一根 6000 多公里高的空氣柱能產生多大的壓力呢？會不會讓地心附近的空氣變成液態呢？這樣小明可能會一頭紮進水里，根本不會出現在地球的另一面。

還有，如果洞壁不能隔熱，地球內部的高溫又會對氣壓和空氣阻力產生什麼樣的影響呢？如果你有辦法的話，不妨算一算。

常常讓自己

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