這道幾何題看起來不難，但做起來無法動筆，就因為輔助線太龐雜

摘要：題中給出AE=BD，AB=CE，通過這些條件可以考慮延長AB至點G使BG=AE，再連接CG，這樣一來AC=AG，就得到了一個等腰直角三角形ACG。下面就要思考在等腰直角三角形中構造與∠EFC相等的角，由作圖可知，B是DG的中點，所以可以過B點作BH∥CD，交CG於H，這樣∠EFC=∠EBH。

今天，數學世界繼續給大家分享一道初中數學幾何題，這道題難度有一點，要作的輔助線較多，如何作輔助線依然是解題的難點。解決此題還要靈活運用等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，以及等量代換等知識。下面，我們就一起來看這道例題吧！

例題：（初中數學綜合題）如圖，已知∠A=90°，AE=BD，AB=CE。求證：∠EFC=45°。

分析：此題的條件很少，圖形也非常簡單，但是這樣的題目往往比較難。由圖可知∠EFC是由兩條線相交得到的，所以必須進行轉化，將與其相等的角求出，所以就要考慮如何構造與∠EFC相等的角。題中給出AE=BD，AB=CE，通過這些條件可以考慮延長AB至點G使BG=AE，再連接CG，這樣一來AC=AG，就得到了一個等腰直角三角形ACG。

下面就要思考在等腰直角三角形中構造與∠EFC相等的角，由作圖可知，B是DG的中點，所以可以過B點作BH∥CD，交CG於H，這樣∠EFC=∠EBH。再連接EH就得到了一個三角形BEH，如果能夠證明三角形BEH是等腰直角三角形，那麼問題即可得到解決。由前面可知，點H是CG的中點，於是連接AH，通過推理可證△AEH≌△GBH，通過等量代換即可得出∠BHE=90°，△BEH是等腰直角三角形，到此問題得解。

證明：延長AB至點G使BG=AE，連接CG，

∵AE=BD，AB=CE，∠A=90°，

∴AC=AG，即△ACG是等腰直角三角形

∠G=45°，

過B點作BH∥CD，交CG於H，連接EH，AH，

∵B是DG的中點，BH∥CD，

∴點H是CG的中點

∴∠AHG=90°，∠CAH=∠GAH=45°，AH=GH

∵在△AEH和△GBH中，

AH=GH，∠EAH=∠BGH=45°，AE=GB，

∴△AEH≌△GBH（SAS），

∴EH=BH，∠EHA=∠BHG，

∵∠AHG=∠AHB+∠BHG=90°，

∴∠EHB=∠EHA+∠AHB=90°，

∴△BEH是等腰直角三角形，∠HBE=45°，

∵BH∥CD，

∴∠EFC=∠HBE=45°，即∠EFC=45°。

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