對浮點數的一些理解

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作者：huyanbing（個人公號：守望的筆記本）

前言

相比int等整型，float等浮點類型的表示和存儲較為複雜，但它又是一個無法回避的話題，那麼就有必要對浮點一探究竟了。在計算機中，一般用IEEE浮點近似表示任意一個實數，那麼它實際上又是如何表示的呢？

IEEE浮點表示

IEEE浮點標準用

的形式近似表示一個數。並且將浮點數的位表示劃分為三個字段：

符號（sign）s決定這個數是負數（s=1）還是正數（s=0）。可以用一個單獨的符號s直接編碼符號s。
尾數（signficand）M是一個二進制小數，它的範圍是1～2-ξ或者是0～1-ξ。 n位小數字段編碼尾數M。
階碼（exponent）E的作用是對浮點數加權，這個權重是2的E次冪（可能是負數）。k位的階打字段編碼階碼E。

在單精度浮點格式（c語言的float）中，s，exp和frac字段分別為1位，8位和23位,而雙精度浮點格式（c語言中的double）中，s，exp和frac字段分別為1位，11位和52位。

一個浮點數的常見比特位表示如下:

單精度

s（31） exp（30~23） frac（22~0)

雙精度

s（53） exp（62~52） frac（51~0）

而根據exp的值，被編碼的值可以分為三大類不同的情況。下面進行一一解釋。

情況1：規格化的值

即最普遍的情況，當exp，即階碼域既不為全0，也不為全1的情況。在這種情況下，階打字段解釋為以偏置（biased）形式表示有符號整數，即E=exp-Bias,exp是無符號數（1~254）。Bias是一個等於的偏置值，對於單精度來說，k=23，Bias=127，因此E的範圍是-126~+127。

frac被描述為小數值，且0≤frac<1,其二進制表示為0.frac。尾數定義為 M=1+frac ，則M=1.frac。那麼就有1≤M<2,由於總是能夠調整階碼E，使得M在範圍1≤M<2,所以不需要顯示的表示它，這樣還能獲得一個額外的精度位。也就是說，在計算機內部保存M時，默認這個數的第一位總是1，因此可以被舍去，只保存後面的frac部分,等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。

情況2：非規格化的值

當exp，即階碼域為全0時，所表示的數便為非規格化的值，該情況下的階碼值E=1-Bias（註:為從非格式化值轉換到格式化值提供了一種方法）。尾數M=frac

非規格化的數有兩個作用。

表示數值0。格式化數中，我們總使得M≥1，因此就無法表示0。而階碼全0時，且尾數也全0時，就可以表示0了。
表示接近0.0的數。它所表示的值分布地接近於0.0，該屬性成為逐漸溢出。

情況3：特殊值

有兩種

階碼全為1，小數域全為0。它得到值為 +∞(s=0)或-∞（s=1），它在計算機中可以表示溢出的結果，例如兩個非常大的數相乘。
階碼全為1，小數域不全為0。它得到值為NaN（Note a Number）。它在計算機中可以表示非法的數，例如計算根號-1時的值。

浮點數的範圍和有效位

對於浮點數，其能表示的數值範圍和其有效位如下

類型比特位數值範圍有效位

float
32
-3.410^38～+3.410^38
6~7位

double
64
-1.710^-308~1.710^308
15~16位

long double
128
-1.210^-4932~1.210^4932
18~19位

可見同比特位數的整型（例如int）要比浮點數（例如float）能表示的數值範圍要小很多，但是需要注意的，雖然浮點數能表示的範圍大，但是它卻不能精確表示在其範圍內的所有實數，也就是說，它只能保證有效位的值是精確的，當表示的數值（小數部分）超過有效位時，所表示的數是無法保證精確的，甚至可以說是錯誤的。

那麼浮點數的數值範圍和有效位是如何得到的呢？

浮點數的數值範圍計算

有了前面了基礎，我們就可以來計算浮點數的數值範圍了。以單精度（float）為例，我們知道它的指數範圍（即E）為-126~+127，而M的範圍為1≤M<2，實際上，對於單精度，1≤M≤2-2^（-23）（註:23為frac字段所占的比特位）。那麼我們就可以得到單精度的最大值為:

同理，我們可以得到單精度的最小值為：

我們僅僅以單精度為例，用同樣的方法可以計算其他精度的浮點數取值範圍，在此不再贅述。

浮點數的有效位

有效位也可以理解為我們常說的精度。浮點數的精度是由尾數的位數來決定的。

對於單精度（float），它的尾數為23位，而2^23=8388608，共7位，也就是說最多能有7位有效數字，但至少能保證6位，因此其有效位為6~7位。當然我們可以通過下面的內容進一步理解。以下計算結果保留10位小數。

觀察a和b的結果可以發現，0.0000001和0.0000002之間的其他數是沒有辦法通過單精度浮點數來精確表示的，也就是說，只有到小數點後面7位的值才是精確的，同理，觀察b和c的結果，0.0000002到0.0000004之間的其他數也是不能通過單精度浮點數精確表示的，更不幸地是，這之間的數，甚至只能精確到第6位。

這也就有了單精度浮點數的有效位為6~7位的結論。根據相似的方法，我們同樣可以得到雙精度浮點數的有效位為15~16位的結論，這裡不再贅述。

浮點數在記憶體中的存儲

了解了這麼多，我們來看一下一個小數究竟是如何在記憶體中存儲的。以float f = 8.25f為例。其二進制表示為,可見指數實際值為3，則根據E=exp-Bias，可知exp=E+Bias=3+127=130，根據M=1+frac,可知，frac=M-1=0.0001（二進制）而

因此不難得到，8.25的在記憶體中的存儲情況為：

s exp frac

0
1000 0010
0001 0000 0000 0000 0000 000

如果這個時候把這個值作為整型使用，是多少呢？沒錯，是1090781184

#include<stdio.h>

intmain(intargc,char*argv[])

{

floatf= 8.25f;

int*i = ( int*)&f;