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題目：Heuristic Optimization Model for the Optimal Layout and Pipe Design of Sewer Systems
作者：JC Steele, K Mahoney, O Karovic, LW Mays
第一作者單位：School of Sustainable Engineering and the Built Environment, Arizona State University, Tempe
期刊：Water Resources Management
發表時間：2016.02
關鍵詞：Sewer systems, Optimization, Minimum cost design, Hierarchical modeling, Simulated annealing, Mixed-integer nonlinear programming
設計城市排水系統需要解決兩大問題：生成系統的布局和確定管道設計參數。本文將排水系統的布局設計轉化為一個混合整數非線性規劃問題，並利用模擬退火算法在生成的系統布局中進行管道的設計。
解決布局生成問題的基礎在於表示排水管網，文章對管網的刻畫利用到了等節點線（isonodal line）的概念。它是一條連接若干檢查井的假想線，同一等節點線上的檢查井到排水口的管段數相等（如下圖中標號為8的等節點線上的檢查井到排水口的所有路線都由3根管段組成）。因此，水流總是從第n條等節點線上的檢查井流向第n+1條上的檢查井。可利用0-1變量來代表mn和mn+1兩檢查井（分屬第n和第n+1條等節點線）之間是否有管道連接，並且管道只能連接相鄰等節點線上的檢查井。
圖1 等節點線示意圖
在此基礎上，文章利用兩種模式來生成管網的布局——最小化管道總長和最小化管長與流量乘積的總和。以上兩種模式需要滿足流量和拓撲關係上的約束。其求解均使用通用代數建模系統（GAMS），GAMS在兩種模式下各優選出5個最佳解，作為模擬退火算法的輸入。
在確定了管網的布局後，需要進行管道的設計，也就是確定管徑、埋深等。本文的優化目標是最小化總成本，同時需要滿足若干約束條件，包括最大最小流速、最小埋深、管徑限定為經濟管徑等。但是模擬退化算法適用於無約束的優化，因而需要將各約束轉化為懲罰項以替代原有約束。對於這一混合整數非線性優化模型，唯一的決策變量是上遊管道的管頂標高，它可決定坡度和管徑（結合已知的設計流量）。模擬退火算法的求解是在Excel的電子表格中進行的，表格內置了管道和檢查井的成本參數。對於GAMS輸入的每種管網布局，模擬退化算法制定相應的溫度下降方式，當一種布局降溫結束後，進行下一布局的優化，最終可輸出每個管網布局對應的最低成本方案。
文章根據這一方法對兩個案例進行了優化設計，結果表明成本最低的方案都來自於第二種模式生成的布局，而根據總管長最小生成布局的成本下降幅度較小。最小化管長也未必能得到低成本的設計方案。文章強調模擬退火算法得到的並不是全局最優解，而只是一個可以接受的解，改變迭代次數、降溫計劃或者接受劣解的概率，都會影響到最終的結果。並且對於簡單的案例，僅考慮了5種最優的布局，而對於規模較大的系統，可能需要對更多的布局進行優化。
圖 2 案例1示意圖
圖 3 案例1的一種管網布局
文章提出了一種設計排水管網的方法，它包括布局生成和管道優化兩個模塊，分別利用GAMS和模擬退火算法進行求解。在生成布局時，文章借助了等節點線的概念來描述不同規模的分枝管網，從而可根據簡單的輸入來自動生成管網布局，並且將布局的優化轉化為一個混合整數非線性規劃問題。在優化管道時，通過選取合適的決策變量，並且將各項約束轉變為懲罰項將問題變為無約束的單目標優化。同時，在工程實踐中使用到的各類約束既可作為輸入，也可由用戶自行選擇。
在追求減小系統的成本時，這一方法的效率較傳統的試錯法高，但是它不支持對排水管網進行多目標優化。
https://link.springer.com/article/10.1007/s11269-015-1191-8
